Vers l’infinit i més enllà

Com que la Gemma i la Sara em provoquen parlant de les seves xocants i fructíferes visions de l’infinit, em veig obligat a posar-hi ordre. Ordre matemàtic, s’entén.

És curiós que un concepte tan complex com el de l’infinit ens atregui des d’edats molt breus. El nen (i la Sara!) que aprèn a comptar l’un-dos-tres i descobreix que els números, si vol, no se’ls acabarà mai, queda tan fascinat per la troballa que a partir d’aquest moment ho aplica a tot i, quan s’enamora, estima “fins a l’infinit”. La infantesa és el temps dels superlatius i està bé que sigui així; després arriba la vida adulta i amb ella l’infinit ja comença a fer més respecte.

Els matemàtics grecs, per exemple, sempre tractaren l’infinit amb precaució i pinces. Euclides, enlloc d’afirmar que existeixen infinits nombres primers, va preferir enunciar que per a qualsevol nombre existeix un nombre primer més gran que ell. La intuïció que darrera d’aquell concepte aclaparador s’hi amagaven monstres va fer perdurar un distanciament respectuós dels matemàtics posteriors. L’habitualment perspicaç Galileo Galilei a “Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze” (1638) va observar una aparent contradicció entre el que dicta el sentit comú i el que mostra la raó. Aparentment els nombres que són quadrat d’un altre (1, 4, 9, 16, 25, 36…) són molt menys freqüents que la resta (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11…) Però, malgrat tot, podem aparellar cada nombre amb el seu quadrat, o sigui que es podria dir que hi ha “tants” nombres enters com quadrats de nombres enters. El prudent Galileo va concloure que l’infinit es comporta de forma ben estranya i va passar a la següent qüestió de la seva farcida agenda.

L’anglès John Wallis, en canvi, se sentia preparat per domar l’infinit i fins i tot per concedir-li un símbol. Aquest vuit ajagut i allargat (∞) convida a pensar en la serp que es mossega la cua, i segons tots els llibres d’història el responsable de la convenció fou en Wallis. Havia descobert que la suma infinita d’una sèrie podia donar resultats finits. Per exemple, la suma amb signes alternats dels recíprocs dels nombres imparells (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11…) produeix finalment Π/4. O sigui que l’infinit podia ser negociable i fins i tot comprensible. Isaac Newton va treure gran profit de les excursions per l’infinit de Wallis, però va preferir circumscriure-ho tot al corralet dels infinitesimals.

Caldria esperar que arribés el segle XIX i aparegués Georg Cantor perquè algú gosés enfrontar-se a l’infinit i trencar-li el coll. Cantor fou un matemàtic alemany que havia nascut a Sant Petersburg l’any 1845 (sí, els matemàtics alemanys són com els de Bilbao, que neixen on volen). Quan tenia onze anys, la seva família es traslladà a Alemanya, primer a Wiesbaden, després a Frankfort. Dotat violinista i encara més brillant matemàtic, va fer els seus estudis a l’Institut Politècnic Federal de Zurich i més endavant a la Universitat de Berlín.

Cantor s’interessà per un camp, el de la Teoria de Conjunts, que havia estat conegut des del temps d’Aristòtil i que sempre s’havia considerat matèria trivial de poca rellevància matemàtica. La seva formalització d’aquesta teoria, passada una primera onada d’escepticisme per part dels seus col·legues, acabaria constituint una de les eines fonamentals per unificar els camps clàssics de l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia. A un nivell purament personal, recordo la prevenció amb la que contemplàvem als anys seixanta tot allò dels conjunts i subconjunts, les unions i les interseccions. Ho anomenàvem “matemàtica moderna” malgrat els seus venerables inicis un llunyà 1874.

El desenvolupament de la Teoria de Conjunts conduiria Cantor a territoris mai abans explorats i tot va començar per la idea aparentment innòcua de la cardinalitat. A partir d’agrupacions arbitràries de nombres, als quals havia anomenat “conjunts”, definia la seva cardinalitat com el nombre dels seus elements. Els conjunts {14, 2, 4} i {200, 201, 5} tenen cardinal 3 i, com que tenen el mateix cardinal, es pot establir entre ells una correspondència biunívoca del seus elements respectius (per exemple, 14 ↔ 200, 2 ↔ 201, 4 ↔ 5). Fins aquí tot pot sonar bastant banal, però la cosa es comença a posar interessant quan considerem els conjunts infinits.

Cantor prengué el conjunt infinit dels nombres naturals {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…} i anomenà la seva cardinalitat ℵ0 (llegiu “àlef nul” o “àlef zero”). Per tant, tot conjunt que pogués establir una correspondència biunívoca amb el dels nombres naturals també tindria un cardinal ℵ0. Prenguem, per exemple, el conjunt dels nombres parells {2, 4, 6, 8…}. Intuïtivament hom diria que n’hi ha la meitat que de nombres naturals i no obstant els podem aparellar un a un sense deixar-nos-en cap (1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, 5 ↔ 10). Igual passa amb els nombres enters, que són els naturals, més els seus negatius, més el zero. D’entrada diríem que hi ha el doble (més u) d’enters que de naturals, però tot i això es deixen aparellar impecablement (1 ↔ 0, 2 ↔ 1, 3 ↔ -1, 4 ↔ 2, 5 ↔ -2, 6 ↔ 3…). Molts altres conjunts infinits, tots aquells on és possible comptar els seus elements un a un, comparteixen la cardinalitat ℵ0. Penseu en els nombres primers, en els nombres factorials, en les potències de 2, en els nombres quadrats (que havien produït la perplexitat de Galileo) o en la successió de capicues. Si podem establir quin és el primer i a partir d’allí anar enunciant els següents, podem assegurar que la seva cardinalitat és ℵ0, per això també se l’anomena infinit “numerable” o “comptable”. 

Les sorpreses, però, encara no han acabat. Per descobrir-les haurem de fer una mica de turisme i hostatjar-nos a l’Hotel Hilbert.