De nou al Hilbert

Fins ara ens hem estat movent entre infinits d’estar per casa, tots amb un cardinal de ℵ0. El proper pas de Georg Cantor fou preguntar-se si hi havia grups infinits que tinguessin una cardinalitat diferent, o sigui que no fossin numerables. I els va trobar en els nombres irracionals compresos entre 0 i 1, és a dir, nombres que no es poden expressar mitjançant una fracció i que tenen un desenvolupament decimal infinit; per exemple 0,328636735...

Tornem a l’Hotel Hilbert, aquest cop les seves infinites habitacions estan desocupades. Arriben a la seva porta un munt de turistes, venen a peu perquè no hi ha autocar que els pugui enquibir, i tots disposen d’un passaport que els identifica de forma única amb números com ara 0,613273… o 0,444592… (per descomptat, són documents infinitament amples). La sagaç recepcionista hauria de ser capaç d’acomodar-los, com havia fet altres vegades amb grups igualment infinits, però aquest cop la tasca li sembla impossible (i és que, de fet, ho és).

Suposem que, tot desistint d’ordenar-los, hagués aconseguit col·locar-los a tots a una cambra o altra, per exemple així:

• Habitació 1: 0,274568…
• Habitació 2: 0,9315443…
• Habitació 3: 0,898940…
• Habitació 4: 0,314159…
• Habitació 5: 0,100302…

Tingueu present que els punts suspensius amaguen una prolongació infinita de xifres. Espero que em disculpareu si no les escric totes.

Semblaria que la nostra estimada recepcionista ha pogut dominar la fera; però ara demostraré que, per molt que s’hi entesti, sempre li quedarà algun turista fora. Prenguem les matrícules dels estadants:

• 0,274568…
• 0,9315443…
• 0,898940…
• 0,314159…
• 0,100302…

I construïm un número on el primer decimal és igual al del primer decimal de l’habitació 1, el segon decimal igual al del segon decimal de l’habitació 2 i, en general, l’enèsim decimal igual al de l’habitació n. Seguint l’exemple, sortiria quelcom així: 0,23810… Sumem-li un 1 a cada xifra, de manera que en resulti 0,34921… Així haurem obtingut un número que no correspon a cap dels hostes de l’hotel, ja que és diferent del de la primera habitació per culpa de la primera xifra decimal, diferent del de la segona habitació per la segona xifra decimal… i etcètera. Per molt que ens esforcem a fer-hi cabre tothom, l’hotel no dóna per a més i sempre hi ha qui quedarà fora.

Aquest infinit superior a ℵ0, representat pels nombres irracionals de l’interval (0,1), Cantor l’anomenà C (el continu). En demostrar que la cardinalitat de C era superior a ℵ0, el que se’ns està dient és que, si bé el conjunt de totes les fraccions és enorme i tan dens com vulguem, els nombres irracionals en el petit interval (0,1) és un conjunt descomunalment més gran, al costat del qual els nombres racionals (les fraccions) són moneda menuda.

Per acabar amb els jocs de prestidigitació, mostraré que hi ha tants números a tota la recta numèrica com a l’interval (0,1). Dibuixem una circumferència de diàmetre 1 sobre l’interval (0,1). Des qualsevol punt (número) a de la recta tracem una línia que l’uneixi amb el centre de la circumferència i des del punt on aquesta línia talla la circumferència tracem una línia perpendicular a la recta numèrica. El punt a’ es troba dins de l’interval (0,1). Per tant, mitjançant aquesta construcció, qualsevol punt de la recta numèrica es pot associar a un punt diferent de l’interval.

No sé si algú que hagi arribat indemne fins aquí estarà tan impressionat com jo davant del fet que la totalitat dels nombres reals (enters, negatius, racionals i irracionals) es pugui empaquetar en un interval tan reduït. A mi em fa rodar el cap!