Hotel Hilbert

L’Hotel Hilbert el buscareu endebades a Booking.com, perquè no existeix a la realitat. Fou la invenció de David Hilbert, un altre matemàtic alemany, tan excel·lent com Cantor i també sensible als encants de la infinitud. Imagineu aquest hotel amb les seves infinites habitacions individuals degudament numerades: 1, 2, 3, 4, 5…; un cas palès de cardinalitat ℵ0. Imagineu també que totes les cambres estan ocupades (potser l’hotel es troba a Barcelona durant el congrés de telefonia mòbil). Posem llavors que una nit d’hivern un viatger truca a les portes de l’hotel. La recepcionista, a qui recursos no li manquen, malgrat gaudir de plena ocupació s’empesca la manera de col·locar el nouvingut. Només cal que cada viatger passi a l’habitació següent i que l’últim en arribar es quedi amb la cambra número 1. Dit amb altres paraules, aquí s’enuncia que ℵ0 +1= ℵ0, una primera passa temptativa a l’aritmètica de l’infinit. Per descomptat, l’hàbil maniobra que hem fet per a un viatger solitari la podríem fer per a dos i per a 225.405.

Posem-ho més interessant. Ara arriba a l’hotel un autocar carregat de turistes, infinits turistes (deuen de ser japonesos, o millor xinesos). La recepcionista no s'amoïna gens ni mica: trasllada els hostes a les habitacions que duen el doble del nombre de les que actualment ocupen (el de la 1 passa a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6…) Li queden lliures totes les habitacions senars i allí hi va allotjant els membres del grup per ordre estricte de baixada de l’autocar. En altres paraules, ℵ0 + ℵ0 = ℵ0.

Perversament, la nit següent arriben infinits autocars, tots ells amb infinits passatgers. Tots volen dormir a l’hotel i, encara que la solució sembli impossible, la recepcionista l’acaba trobant. Primer desplaça els estadants a l’habitació que exhibeix el número doble de la que ocupen, com havíem fet al paràgraf anterior, i, ja amb les habitacions senars desocupades, va col·locant els turistes segons l’ordre següent:

D’aquesta forma tan senzilla hem vist que infinits autocars cadascun amb infinits turistes és un conjunt numerable, o sigui que un infinit numerable multiplicat per un altre infinit numerable, dóna un altre infinit numerable: ℵ0 x ℵ0 = ℵ0. Gens innocentment he designat els turistes x/y, on x és el número d’autobús i y el seu seient; adonem-nos ara que amb aquesta notació hem representat totes les fraccions possibles, el que també s’anomenen els nombres racionals positius. Amb les fraccions hem entrat en un infinit aparentment més gran (els nombres racionals es distribueixen de forma tan densa, que entre qualsevol parell d’ells sempre se’n pot trobar un altre) i no obstant els hem pogut equiparar amb els naturals tot seguint el camí de les fletxes grogues. Per tant, els racionals també és poden comptar.

Observo, de retruc, una altra anomalia de l’infinit: hi ha tants nombres racionals entre 0 i 1, com de l’1 en endavant. Els nombres racionals entre 0 i 1 es caracteritzen per tenir el numerador més petit que el denominador (1/3, 12/17, 21/503). És suficient invertir-los per obtenir números més grans que l’1 (3/1, 17/12, 503/21). O sigui que per cada fracció positiva menor que 1, n’hi ha una major d‘1 que li correspon, tot i que contemplant els números arrenglerats sobre una recta imaginària, l’interval entre 0 i 1 és una minúcia al costat de la infinitud que s’estén a la seva dreta. Rareses de l’infinit!

Demà tornarem a l’Hotel Hilbert a la recerca d’algun infinit que no sigui tan menut com els que hem vist fins ara.