Topologia per a principiants

Si algun dia tenim ocasió de trobar-nos, no és necessari que em confesseu que a l’escola éreu pèssims o pèssimes en matemàtiques, ho donaré per descomptat. Una de les frustracions que guardem els matemàtics dins del cor és la dificultat de transmetre als profans la bellesa que hi trobem en el nostre camp d’estudi.

La frase ha quedat bé, però hauré d’aclarir que només sóc matemàtic per títol acadèmic i per aparcada vocació. Però encara que la vida laboral m’hagi conduit per altres terrenys, conservo l’interès per aquestes qüestions que per a la resta dels mortals és incomprensible i queda molt allunyada del que ells consideren el món real.

El meu proselitisme no es veu capaç de superar prejudicis tan alts, però almenys deixeu-me comentar-vos una descoberta matemàtica, encantadorament senzilla, que fins i tots els més desinteressats apreciareu.

Es tracta de posar color als mapes (mapes polítics, per ser més precisos), procurant que dues regions contigües no comparteixin el mateix color. Doncs bé, els cartògrafs feia temps que havien observat que amb quatre colors diferents era suficient per pintar qualsevol regió del món, per complicades que fossin les seves fronteres. Però els matemàtics no es conformen amb els dictats de l’experiència i van més enllà a la recerca d’una certitud absoluta: calia trobar la prova per demostrar que qualsevol mapa pot ser colorejat amb 4 colors.

Aquí sembla que en fan falta 5!

Però es pot fer també amb 4!
El fet que la idea sigui senzilla d’entendre no vol dir que no sigui difícil de demostrar. Quan jo estudiava, allà pels 70 del segle XX, encara era una hipòtesi que la realitat no contradeia (com també ho era el molt més cèlebre darrer teorema de Pierre de Fermat).

La primera demostració la van fer Kenneth Appel i Wolfgang Haken l’any 1976 amb l’ajuda d’un ordinador; de fet, va ser un dels primers teoremes de la història demostrats per ordinador. A l’establiment acadèmic, aquest mètode novell en el que es relegava a una màquina tota la feina tediosa i bruta, no els va agradar gens: els matemàtics prefereixen estar sempre del costat de la concisió i l’elegància. Per això, es van continuar buscant demostracions més simples i que no impliquessin cap ordinador. N’hi ha hagut algunes de posteriors i, tot i que el teorema es considera demostrat, encara hi ha qui cerca una forma més bonica de provar-ho.

És clar que, com que els mapes reflecteixen la realitat, no sempre podrem fer-ho tot amb una paleta tan reduïda. Tenim per exemple l’aigua (del mar i dels llacs) que, per convenció, sempre es pinta de color blau cel; quedaria molt lleig que, per no saltar-nos la restricció dels 4 colors, haguéssim de pintar el llac de Banyoles de rosa o de groc. I després hi ha el problema dels enclavaments, dues regions no connectades que pertanyen a la mateixa unitat política (com Alaska i la resta d’Estats Units, o el Racó d’Ademús i la Comunitat Valenciana), que per tant s’han de pintar del mateix color.

I per acabar us proposo un joc en el que intervenen dos jugadors, un full de paper, un bolígraf i 4 llapis de colors. El jugador A dibuixa amb el bolígraf una regió al paper. El jugador B la pinta del color que vulgui i traça amb boli una segona regió contigua a l’anterior. El jugador A la pinta, necessàriament d’un color diferent, i dibuixa una altra regió que toqui les anteriors. Així, successivament, fins que un jugador necessiti un cinquè color i perdi la partida.