dimecres, 12 de gener de 2011

La felicitat era això


Els matemàtics (ànimes de déu!) es deleixen per definir conceptes pel mer gust de la definició. Després estudien les conseqüències del seu acte creador, hi busquen regles i excepcions, pautes secretes, connexions inesperades. Sovint acaben establint els límits d’un territori artificial, tancat en si mateix, que només ells han inventat i aquí s’acaba la història. Però en alguns casos aquests treballs d’exploració aporten llum a problemes que d’entrada no hi tenien res a veure i s’obren de sobte camins de repercussions infinites. Aquesta és la gràcia de la definició perquè sí.

Ran del meu apunt de primer d’any, la Montse G. C. m’informa de l’existència dels nombres feliços, dels que mai no havia sentit parlar, però que tenen tanta legitimitat matemàtica com qualsevol altra invenció precisament definida. I quins són els nombres feliços? Com els reconeixerem?

Aquesta és la recepta. Preneu un nombre enter positiu, calculeu el quadrat de cadascuna de les seves xifres, sumeu-les. Repetiu el procediment amb el resultat. Així una vegada i una altra. A la llarga entrareu en un bucle del tipus 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ... o obtindreu un 1 (no em pregunteu el perquè, però s’ha comprovat que és així). Si es dóna aquest segon cas, us trobareu davant d’un nombre “feliç”. No sabria explicar-vos perquè aquests nombres han de ser més feliços que els altres: els matemàtics són així de forassenyats en les seves decisions i no he trobat enlloc el motiu d’aquest apel·latiu.

Més enllà del cas trivial de l’u, el 7 és el nombre feliç més petit. Vegem-ho:

Després venen el 10, 13, 19, 23, 28, 31… Per la natura de la definició, si un nombre és feliç, també ho serà qualsevol permutació de les seves xifres. Com que el 176 ho és, també ho són el 167, el 617, el 671, el 716 i el 761. Ja que el quadrat del zero no altera el resultat de la suma, hi podrem afegir igualment tants zeros com voldrem sense modificar la seva felicitat: 1.760, 1.076, 1.000.607.000…

Malgrat que, de moment, no s’ha trobat cap ús d’aquesta felicitat numèrica, s’han plantejat ja totes les preguntes pertinents: quina és la densitat de nombres feliços dins dels enters, què passa si en lloc de quadrats utilitzem cubs, quins nombres feliços són a més primers, què passa en altres sistemes numèrics (en sistema binari i en base 4, tots els nombres són feliços, són per tant sistemes “feliços”)...

Ah, me n’oblidava (i excuseu-me l’obvietat), tots els números que no són feliços queden definits per decret-llei matemàtic com a “infeliços” o “tristos”. Per exemple, el 2, el 3 o el 4. Que cadascú n’extregui les conseqüències morals que vinguin al cas.

28 comentaris:

  1. Marta, fes el favor, intento ser didàctic i tu convides a una bacanal!

    ResponElimina
  2. Extreuria menys de 7 conseqüències morals i quedaria com un infeliç o sigui que ja ni m'hi poso. Ah, no, que l'1 és feliç: doncs, allò de més feliç que un 8 (que sempre ha estat el meu número favorit) deu ser mentida. Ja deia jo...

    ResponElimina
  3. Però, a més d'aquestes collonades, els matemàtics sou capaços d'encertar la grossa de Nadal? A veure si us espavileu una mica i trobeu el nombre perfecte de cara l'any que ve i ens ho anuncies. I sobretot que sigui un número maco i no com aquest que a sortit a la Rifa de Reis que em sembla que era el 70013 i poca gent el va agafar per lleig!

    ResponElimina
  4. Òscar, si ens hi posem, el 8 també pot ser ple de possibilitats miraculoses. No defalleixis!

    ResponElimina
  5. Més maco que tu, Galde? Qualsevol número!

    ResponElimina
  6. Algú de lletres que ens pugui dir si hi ha lletres felices, lletres amb mala estrella i lletres terriblement desgraciades?

    ResponElimina
  7. Tal volta per això al 7 li diuen també el número màgic?
    A mi les matemàtiques sempre m'han aclaparat!

    ResponElimina
  8. Me n'alegro que sigui el 7, sempre m'ha fet feliç :) no suporto els números parells i els imparells menors de 7 els trobo "mal acabats", el 9 una mica petulant i els de dues xifres trobo que es fan nosa l'un a l'altre. El 7 és un gran número, si :)

    ResponElimina
  9. "Tots els números feliços s'assemblen. Cada número dissortat ho és a la seva manera".
    Jo això ho he llegit en algun lloc.

    ResponElimina
  10. Lletres felices, Helter? La Comic Sans!

    ResponElimina
  11. Vida, això dels poders màgics del 7 ve de molt més antic i, de segur, no té cap fonament matemàtic.

    ResponElimina
  12. Ara, Clídice, et toca desenvolupar aquesta teoria moral dels números: li veig futur.

    ResponElimina
  13. Matilde, amb raó la Wikipedia atribueix als russos la invenció dels números feliços.

    ResponElimina
  14. Jo em vaig assabentar d'això dels feliços per un article del Claudi Alsina, tot just l'any passat. Si més no, reconforta saber que hi ha molts més nombres feliços que nombres perfectes.

    ResponElimina
  15. Tots aquests matemàtics deuen ser homes? el 7 potser per la seva simbologia fàl•lica, ben plantat i eixerit amb el primer traç empalmat. Ja ho deia la Marta..., aquest número pot encetar una bona orgia.

    ResponElimina
  16. uala! m'acabo de psicoanalitzar gratis! veus Allau? la wanderlust ja t'ha fet la teoria :P si és que tots sabem on rau la felicitat: en el 7 of course ;P

    ResponElimina
  17. vaig néixer un dia, un mes i un any feliç.... on han fallat les mates?

    ResponElimina
  18. Santi, trobo que té sentit que la felicitat abundi més que la perfecció.

    ResponElimina
  19. Wander, no fotem, que el 28, tan rodonet ell, també és feliç. El 7 només era un exemple entre molts.

    ResponElimina
  20. Clídice, he agafat el 7 com a primer exemple no trivial, però n’hi ha molts d’altres. No personalitzem, si us plau, que encara me l’entristireu!

    ResponElimina
  21. Lolita, aquí només parlava de felicitat numèrica, no personal. Les matemàtiques no fallen, hauràs estat tu ;p

    ResponElimina
  22. Apa! Ja em veig tot el dia fent càlculs...

    Certament, estaria bé saber quines lletres són felices, també!

    ResponElimina
  23. Doncs apa, tirant, si t’agraden aquestes coses…

    ResponElimina
  24. De tota manera, si imagino una família de set membres (convivint junts) no acabo de veure on para la felicitat. A no ser que siguin uns llibertins, és clar.

    ResponElimina
  25. El primer paràgraf es pot llegir (jo ho he fet!) canviant "matemàtics" per "lexicògrafs". Després l'apunt ja degenera...

    ResponElimina
  26. Lluís, no és cap sorpresa el teu concepte de família.

    ResponElimina
  27. Puig, tot degenera i algú ho devia dir abans, potser Jorge Manrique?

    ResponElimina