dimecres, 28 de març de 2012

De nou al Hilbert

Fins ara ens hem estat movent entre infinits d’estar per casa, tots amb un cardinal de ℵ0. El proper pas de Georg Cantor fou preguntar-se si hi havia grups infinits que tinguessin una cardinalitat diferent, o sigui que no fossin numerables. I els va trobar en els nombres irracionals compresos entre 0 i 1, és a dir, nombres que no es poden expressar mitjançant una fracció i que tenen un desenvolupament decimal infinit; per exemple 0,328636735...

Tornem a l’Hotel Hilbert, aquest cop les seves infinites habitacions estan desocupades. Arriben a la seva porta un munt de turistes, venen a peu perquè no hi ha autocar que els pugui enquibir, i tots disposen d’un passaport que els identifica de forma única amb números com ara 0,613273… o 0,444592… (per descomptat, són documents infinitament amples). La sagaç recepcionista hauria de ser capaç d’acomodar-los, com havia fet altres vegades amb grups igualment infinits, però aquest cop la tasca li sembla impossible (i és que, de fet, ho és).

Suposem que, tot desistint d’ordenar-los, hagués aconseguit col·locar-los a tots a una cambra o altra, per exemple així:
  • Habitació 1: 0,274568…
  • Habitació 2: 0,9315443…
  • Habitació 3: 0,898940…
  • Habitació 4: 0,314159…
  • Habitació 5: 0,100302…
Tingueu present que els punts suspensius amaguen una prolongació infinita de xifres. Espero que em disculpareu si no les escric totes.

Semblaria que la nostra estimada recepcionista ha pogut dominar la fera; però ara demostraré que, per molt que s’hi entesti, sempre li quedarà algun turista fora. Prenguem les matrícules dels estadants:
  • 0,274568…
  • 0,9315443…
  • 0,898940…
  • 0,314159…
  • 0,100302…
I construïm un número on el primer decimal és igual al del primer decimal de l’habitació 1, el segon decimal igual al del segon decimal de l’habitació 2 i, en general, l’enèsim decimal igual al de l’habitació n. Seguint l’exemple, sortiria quelcom així: 0,23810… Sumem-li un 1 a cada xifra, de manera que en resulti 0,34921… Així haurem obtingut un número que no correspon a cap dels hostes de l’hotel, ja que és diferent del de la primera habitació per culpa de la primera xifra decimal, diferent del de la segona habitació per la segona xifra decimal… i etcètera. Per molt que ens esforcem a fer-hi cabre tothom, l’hotel no dóna per a més i sempre hi ha qui quedarà fora.

Aquest infinit superior a ℵ0, representat pels nombres irracionals de l’interval (0,1), Cantor l’anomenà C (el continu). En demostrar que la cardinalitat de C era superior a ℵ0, el que se’ns està dient és que, si bé el conjunt de totes les fraccions és enorme i tan dens com vulguem, els nombres irracionals en el petit interval (0,1) és un conjunt descomunalment més gran, al costat del qual els nombres racionals (les fraccions) són moneda menuda.

Per acabar amb els jocs de prestidigitació, mostraré que hi ha tants números a tota la recta numèrica com a l’interval (0,1). Dibuixem una circumferència de diàmetre 1 sobre l’interval (0,1). Des qualsevol punt (número) a de la recta tracem una línia que l’uneixi amb el centre de la circumferència i des del punt on aquesta línia talla la circumferència tracem una línia perpendicular a la recta numèrica. El punt a’ es troba dins de l’interval (0,1). Per tant, mitjançant aquesta construcció, qualsevol punt de la recta numèrica es pot associar a un punt diferent de l’interval.

No sé si algú que hagi arribat indemne fins aquí estarà tan impressionat com jo davant del fet que la totalitat dels nombres reals (enters, negatius, racionals i irracionals) es pugui empaquetar en un interval tan reduït. A mi em fa rodar el cap!

13 comentaris:

  1. De tot plegat he deduït que aquesta recepcionista està sobreexplotada.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Òscar, m'estàs convidant al suïcidi blocaire. Ja m'està bé.

      Elimina
  2. No home, si té molt mèrit, però em temo que no som el teu millor públic.
    Jo em sembla que no estic gaire dotat per les mates (ni francament, gaire interessat), i em sembla que he entès alguna cosa i tot. Impressionant, no?

    ResponElimina
  3. Si has entès alguna cosa, comences a impressionar-me. De totes maneres, no tinc cap voluntat de permanència o de futur.

    ResponElimina
  4. Em quedo amb la idea que el comjunt de les fraccions és més.petit que el dels números irracionals i que la totalitat dels nombres reals es pot empaquetar en un interval molt petit (0,1). Però m'ho crec més perquè tu ho dius, amb els teus arguments, que perquè ho entengui realment (o hauria de dir idealment?). Això sí, l'Hotel Hilbert ja forma part del meu imaginari! Gràcies!

    ResponElimina
  5. Ep! De tota manera, em passa com a l'Òscar, alguna cosa he entès! Això és un triomf per ambdues parts!

    ResponElimina
    Respostes
    1. Gemma Sara m'alegra que hagis entès alguna cosa (i que l'hagis entès bé). Prometo que els propers dies no seran tan espessos,

      Elimina
  6. Si la totalitat dels nombres es pot empaquetar en l'interva entre elzero i 1, també es deu poder empaquetar una quantitat igual entre l'1 i 2 , de manera que hi ha infinits nombres de paquets infinits. Això quina cardinalita té?
    He seguit amb força interés la serie d'apunt. Gràcies :)

    ResponElimina
    Respostes
    1. Brian, tots el nombres es poden aparellar als d'un interval qualsevol (com diu en Santi, l'interval pot ser tan petit com vulguem). Potser el verb empaquetar no és gaire afortunat, el que pretenia dir és que hi ha "tants" nombres a tota la recta numèrica com a un segment limitat. Si consideres infinits intervals de la recta continuaràs a la cardinalitat C.

      Elimina
  7. Veus com et calien les biodramines?
    Jo trobo fascinant que la recta numèrica es pugui encabir en un interval petit (de fet, tan petit com vulguis), tant o més fascinant que saber que hi ha partícules que poden viatjar distàncies enormes sense topar amb res. El món físic és un gran buit i la recta numèrica és pitjor que el metro de Tòquio!

    ResponElimina
    Respostes
    1. Santi, no m'he pres les biodramines, prefereixo gaudir-ho a pèl.

      Elimina
  8. Brrrlom brrrlom brrrrlom (el meu cap rodant costera avall) ^^

    ResponElimina
    Respostes
    1. Ha, ha, Clídice, quina música més bonica.

      Elimina