dimarts, 27 de març de 2012

Hotel Hilbert


L’Hotel Hilbert el buscareu endebades a Booking.com, perquè no existeix a la realitat. Fou la invenció de David Hilbert, un altre matemàtic alemany, tan excel·lent com Cantor i també sensible als encants de la infinitud. Imagineu aquest hotel amb les seves infinites habitacions individuals degudament numerades: 1, 2, 3, 4, 5…; un cas palès de cardinalitat ℵ0. Imagineu també que totes les cambres estan ocupades (potser l’hotel es troba a Barcelona durant el congrés de telefonia mòbil). Posem llavors que una nit d’hivern un viatger truca a les portes de l’hotel. La recepcionista, a qui recursos no li manquen, malgrat gaudir de plena ocupació s’empesca la manera de col·locar el nouvingut. Només cal que cada viatger passi a l’habitació següent i que l’últim en arribar es quedi amb la cambra número 1. Dit amb altres paraules, aquí s’enuncia que ℵ0 +1= ℵ0, una primera passa temptativa a l’aritmètica de l’infinit. Per descomptat, l’hàbil maniobra que hem fet per a un viatger solitari la podríem fer per a dos i per a 225.405.

Posem-ho més interessant. Ara arriba a l’hotel un autocar carregat de turistes, infinits turistes (deuen de ser japonesos, o millor xinesos). La recepcionista no s'amoïna gens ni mica: trasllada els hostes a les habitacions que duen el doble del nombre de les que actualment ocupen (el de la 1 passa a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6…) Li queden lliures totes les habitacions senars i allí hi va allotjant els membres del grup per ordre estricte de baixada de l’autocar. En altres paraules, ℵ0 + ℵ0 = ℵ0.

Perversament, la nit següent arriben infinits autocars, tots ells amb infinits passatgers. Tots volen dormir a l’hotel i, encara que la solució sembli impossible, la recepcionista l’acaba trobant. Primer desplaça els estadants a l’habitació que exhibeix el número doble de la que ocupen, com havíem fet al paràgraf anterior, i, ja amb les habitacions senars desocupades, va col·locant els turistes segons l’ordre següent:

D’aquesta forma tan senzilla hem vist que infinits autocars cadascun amb infinits turistes és un conjunt numerable, o sigui que un infinit numerable multiplicat per un altre infinit numerable, dóna un altre infinit numerable: ℵ0 x ℵ0 = ℵ0. Gens innocentment he designat els turistes x/y, on x és el número d’autobús i y el seu seient; adonem-nos ara que amb aquesta notació hem representat totes les fraccions possibles, el que també s’anomenen els nombres racionals positius. Amb les fraccions hem entrat en un infinit aparentment més gran (els nombres racionals es distribueixen de forma tan densa, que entre qualsevol parell d’ells sempre se’n pot trobar un altre) i no obstant els hem pogut equiparar amb els naturals tot seguint el camí de les fletxes grogues. Per tant, els racionals també és poden comptar.

Observo, de retruc, una altra anomalia de l’infinit: hi ha tants nombres racionals entre 0 i 1, com de l’1 en endavant. Els nombres racionals entre 0 i 1 es caracteritzen per tenir el numerador més petit que el denominador (1/3, 12/17, 21/503). És suficient invertir-los per obtenir números més grans que l’1 (3/1, 17/12, 503/21). O sigui que per cada fracció positiva menor que 1, n’hi ha una major d‘1 que li correspon, tot i que contemplant els números arrenglerats sobre una recta imaginària, l’interval entre 0 i 1 és una minúcia al costat de la infinitud que s’estén a la seva dreta. Rareses de l’infinit!

Demà tornarem a l’Hotel Hilbert a la recerca d’algun infinit que no sigui tan menut com els que hem vist fins ara.

15 comentaris:

  1. Llavors, si entre 0 i 1 hi ha infinits números, tants com de l'1 en endavant (això ho entenc) és el mateix infinit, no? O és més petit? T'hauria d'haver dit d'entrada que vaig suspendre mates de primer de BUP, em sembla que sóc irrecuperable...

    ResponElimina
  2. Gemma Sara, ho estàs entenent a la perfecció. Que no et preocupin els detalls, de zero a u conté tota la recta numèrica.

    ResponElimina
  3. Diria, doncs, que l'infinit pot contenir infinits en mates i literatura, però no en el significat de la paraula. Per què l'infinit realment no pot tenir plena ocupació per definició, no?

    ResponElimina
  4. Per definició i perquè tampoc no hi ha prou xinesos al món.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Òscar, són els problemes dels límits del llenguatge: les paraules són finites mentre que les idees tenen molt més espai per desenvolupar-se.

      Elimina
  5. La representació gràfica imaginària de la recta m'ha permès situar-me... imaginàriament, és clar, perquè com a observador estic incorrent en una paradoxa: hi ha espais infinits més grans que d'altres. Normalment, el valor empíric de la realitat ens el dóna els sentits, la qual cosa em fa pensar que he de prescindir del sistema mètric per no haver de fer un acte de fe. És demostrable matemàticament però no a través dels sentits.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Enric, tot el que explico va contra la nostra intuïció. Cal decidir a quí volem fer cas. Jo ja he pres partit.

      Elimina
  6. Això de l'interval 0-1 i l'infinit em recorda vagament alguna aporia dels presocràtics; no sé si de Zenó...

    Després de pensar breument en apories, paradoxes i fal·làcies he agafat un etimològic per veure si fal·làcia venia de fal·lus. La ciència ho desmenteix, però els dos termes comparteixen la disposició a enganyar.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Puigmalet, les apories de Zenó ja s'enfrontaven als infinitessimals sense saber-ho. En quant a la fal·làcia, ja va entrar en el seu dia al disseccionari (prop del precipuci).

      Elimina
  7. Vaig a comprar biodramines, que a can Hilbert ens espera el vertigen.

    ResponElimina
  8. Santi, no m'espantis el personal, tampoc n'hi ha per tant!

    ResponElimina
  9. Molt interessant, però em sembla que aquell solitari viatger que va arribar amb la nit d'hivern encara és a recepció esperant infinitament que desallotgen l'habitació que és al seu estimat punt impropi. :)

    ResponElimina
    Respostes
    1. Amb que el de l'habitació número 1 tregui les maletes, ja n'hi ha prou perquè s'instal·li el viatger. La logística del procés sencer reconec que serà una mica llarg ;)

      Elimina
  10. Veus? aquí ja és quan ploro desconsoladament per aquell cop al cap amb els peus del llit quan vaig sortir expulsada del sí matern i que em va fer perdre les neurones que haurien de comprendre tot això. Per cert, amb gintònics s'entén millor? Ho dic per provar, només com a experimentació científica, és clar :)

    ResponElimina
    Respostes
    1. Clídice, amb gintònics encara s'entén menys, però, posats a no entendre-ho, millor fer-ho amb classe. (De l'apunt de demà estàs eximida).

      Elimina