dilluns, 26 de març de 2012

Vers l’infinit i més enllà

Com que la Gemma i la Sara em provoquen parlant de les seves xocants i fructíferes visions de l’infinit, em veig obligat a posar-hi ordre. Ordre matemàtic, s’entén.

És curiós que un concepte tan complex com el de l’infinit ens atregui des d’edats molt breus. El nen (i la Sara!) que aprèn a comptar l’un-dos-tres i descobreix que els números, si vol, no se’ls acabarà mai, queda tan fascinat per la troballa que a partir d’aquest moment ho aplica a tot i, quan s’enamora, estima “fins a l’infinit”. La infantesa és el temps dels superlatius i està bé que sigui així; després arriba la vida adulta i amb ella l’infinit ja comença a fer més respecte.

Els matemàtics grecs, per exemple, sempre tractaren l’infinit amb precaució i pinces. Euclides, enlloc d’afirmar que existeixen infinits nombres primers, va preferir enunciar que per a qualsevol nombre existeix un nombre primer més gran que ell. La intuïció que darrera d’aquell concepte aclaparador s’hi amagaven monstres va fer perdurar un distanciament respectuós dels matemàtics posteriors. L’habitualment perspicaç Galileo Galilei a “Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze” (1638) va observar una aparent contradicció entre el que dicta el sentit comú i el que mostra la raó. Aparentment els nombres que són quadrat d’un altre (1, 4, 9, 16, 25, 36…) són molt menys freqüents que la resta (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11…) Però, malgrat tot, podem aparellar cada nombre amb el seu quadrat, o sigui que es podria dir que hi ha “tants” nombres enters com quadrats de nombres enters. El prudent Galileo va concloure que l’infinit es comporta de forma ben estranya i va passar a la següent qüestió de la seva farcida agenda.

L’anglès John Wallis, en canvi, se sentia preparat per domar l’infinit i fins i tot per concedir-li un símbol. Aquest vuit ajagut i allargat (∞) convida a pensar en la serp que es mossega la cua, i segons tots els llibres d’història el responsable de la convenció fou en Wallis. Havia descobert que la suma infinita d’una sèrie podia donar resultats finits. Per exemple, la suma amb signes alternats dels recíprocs dels nombres imparells (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11…) produeix finalment Π/4. O sigui que l’infinit podia ser negociable i fins i tot comprensible. Isaac Newton va treure gran profit de les excursions per l’infinit de Wallis, però va preferir circumscriure-ho tot al corralet dels infinitesimals.

Caldria esperar que arribés el segle XIX i aparegués Georg Cantor perquè algú gosés enfrontar-se a l’infinit i trencar-li el coll. Cantor fou un matemàtic alemany que havia nascut a Sant Petersburg l’any 1845 (sí, els matemàtics alemanys són com els de Bilbao, que neixen on volen). Quan tenia onze anys, la seva família es traslladà a Alemanya, primer a Wiesbaden, després a Frankfort. Dotat violinista i encara més brillant matemàtic, va fer els seus estudis a l’Institut Politècnic Federal de Zurich i més endavant a la Universitat de Berlín.

Cantor s’interessà per un camp, el de la Teoria de Conjunts, que havia estat conegut des del temps d’Aristòtil i que sempre s’havia considerat matèria trivial de poca rellevància matemàtica. La seva formalització d’aquesta teoria, passada una primera onada d’escepticisme per part dels seus col·legues, acabaria constituint una de les eines fonamentals per unificar els camps clàssics de l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia. A un nivell purament personal, recordo la prevenció amb la que contemplàvem als anys seixanta tot allò dels conjunts i subconjunts, les unions i les interseccions. Ho anomenàvem “matemàtica moderna” malgrat els seus venerables inicis un llunyà 1874.

El desenvolupament de la Teoria de Conjunts conduiria Cantor a territoris mai abans explorats i tot va començar per la idea aparentment innòcua de la cardinalitat. A partir d’agrupacions arbitràries de nombres, als quals havia anomenat “conjunts”, definia la seva cardinalitat com el nombre dels seus elements. Els conjunts {14, 2, 4} i {200, 201, 5} tenen cardinal 3 i, com que tenen el mateix cardinal, es pot establir entre ells una correspondència biunívoca del seus elements respectius (per exemple, 14 ↔ 200, 2 ↔ 201, 4 ↔ 5). Fins aquí tot pot sonar bastant banal, però la cosa es comença a posar interessant quan considerem els conjunts infinits.

Cantor prengué el conjunt infinit dels nombres naturals {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…} i anomenà la seva cardinalitat ℵ0 (llegiu “àlef nul” o “àlef zero”). Per tant, tot conjunt que pogués establir una correspondència biunívoca amb el dels nombres naturals també tindria un cardinal ℵ0. Prenguem, per exemple, el conjunt dels nombres parells {2, 4, 6, 8…}. Intuïtivament hom diria que n’hi ha la meitat que de nombres naturals i no obstant els podem aparellar un a un sense deixar-nos-en cap (1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, 5 ↔ 10). Igual passa amb els nombres enters, que són els naturals, més els seus negatius, més el zero. D’entrada diríem que hi ha el doble (més u) d’enters que de naturals, però tot i això es deixen aparellar impecablement (1 ↔ 0, 2 ↔ 1, 3 ↔ -1, 4 ↔ 2, 5 ↔ -2, 6 ↔ 3…). Molts altres conjunts infinits, tots aquells on és possible comptar els seus elements un a un, comparteixen la cardinalitat ℵ0. Penseu en els nombres primers, en els nombres factorials, en les potències de 2, en els nombres quadrats (que havien produït la perplexitat de Galileo) o en la successió de capicues. Si podem establir quin és el primer i a partir d’allí anar enunciant els següents, podem assegurar que la seva cardinalitat és ℵ0, per això també se l’anomena infinit “numerable” o “comptable”. 

Les sorpreses, però, encara no han acabat. Per descobrir-les haurem de fer una mica de turisme i hostatjar-nos a l’Hotel Hilbert.

25 comentaris:

  1. Com a persona enamorada que sóc de la lingüística em deixo seduir pel discurs matemàtic, malgrat perdre'm. Però bé a ser com la música, que no en sé un borrall però m'abdueix.

    Demà (o quan toqui), després de fer-me pujar un refrigeri a la suite del Hilbert, em tornaré a llegir l'apunt més la continuació. I si no en trec cap coneixement, hauré tastat l'aroma de les paraules.

    ResponElimina
  2. Com en tots els teus apunts de mates no he entès gaire res. Disculpa'm que t'ho digui, però el de la Gemma era infinitament més fet a escala humana. I allò que hi ha infinits més petits que altres, què?

    ResponElimina
    Respostes
    1. Òscar, llegeix-me amb atenció una segona vegada, i si encara no m'entens, canvia de blogroll.

      Elimina
    2. Home, de vegades parles de coses intel·ligibles, quan no va de mates o del Tintin... Sóc molt espès en mates i Tintín, segur que és culpa meva.

      Elimina
    3. Crec que ho entenc tot fins que apareix John Wallis. Amb "reciprocs dels nombres imparells" comencen els tecnicismes.

      Elimina
    4. Òscar, és que no t'hi fixes: el recíproc de x és 1/x. Un nombre imparell ja saps el que és. I a més, poso el principi de la sèrie. Em sembla que no costa tant d'entendre...

      Elimina
  3. Enric, te'l llegeixes, i no en pateixis gaire. Pitjors en vindran. Miro de fer-ho fàcil, però ja es veu que no ho aconsegueixo.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Allau, no ets tu, sóc jo. Intueixo la "simplicitat" en l'exposició perquè sona bé, però no hi poso prou atenció. Per a les matemàtiques necessito posar l'espatlla recta a la cadira. Ara que estic sobre avís, ho encararé amb intenció.

      Elimina
  4. A mi em passa una mica com a l'Enric, que espero tenir les neurones una mica més en forma per a aquesta i per a la segona ronda. D'entrada, però, ja et dono les gràcies per intentar fer-nos entendre aquest misteri de l'infinit, que no per matemàtic és menys poètic! (bé d'una poesia rara, això sí).

    ResponElimina
  5. Gemma Sara, no hi ha gaire misteri, la poesia persisteix.

    ResponElimina
  6. Friso per saber com reaccionarà la penya no científica amb els infinits no numerables...
    (de moment no has citat Borges, i això són uns quants punts a favor teu)

    ResponElimina
    Respostes
    1. Santi, desenganya't, Borges, sortirà en un moment o l'altre.

      Elimina
    2. Tan bon punt he llegit això de l'àlef nul m'he reservat habitació a l'hotel Las delícias, a Adrogué. Allà m'espero.

      Elimina
    3. Matilde, has d'anar a l'Hotel Hilbert, que és on hi ha marro (infinit).

      Elimina
    4. Borges és el peixet habitual perquè la "gent de lletres" (com si això existís...) no se senti totalment perduda en l'infinit. Com a esquer està molt suat; com a corol·lari, res a objectar.

      Elimina
  7. Vaig quedar molt farta dels conjunts a l'EGB però trobar-me que a l'infinit es tallen les paral·leles, em va semblar més senzill d'entendre. A veure que dirà el Borges..

    ResponElimina
    Respostes
    1. Pots comptar, Kalamar, que a aquestes alçades Borges no dirà res de nou.

      Elimina
  8. Jo m'he perdut a Cantor però a vegades també em passa amb la poesia. No hi fa res, he gaudit de valent de l'apunt i em sembla que també aniré a l'Hotel Hilbert a passar una temporada ja que la gresca infinita de lletres i números promet...

    ResponElimina
    Respostes
    1. Galde, si et perds amb el que és senzill, a l'hotel acabaràs a la cambra de les escombres...

      Elimina
  9. Confesso humilment que mai, però mai, m'ha estat conferit el do d'entendre matemàtiques. Potser hagi estat un ensenyament deficient, no ho sé. M'ho copiava tot i em posaven bona nota fins arribar al quadre d'honor, que s'estilava al meu col·legi.
    A vegades he pensat si un bon professor em podria iniciar en el tema, però el meu arbre literari ha crescut massa, pesa massa, per afegir-hi noves branques. He pogut viure fins ara amb el consentiment dels uns i amb la commiseració dels matemàtics, espero, fins al perdó definitiu.

    ResponElimina
  10. Olga, es pot viure perfectament sense les matemàtiques, també es pot viure sense les lletres, però són vides una mica més pobres.

    ResponElimina
  11. A l'últim paràgraf m'he tornat una mica mica ^^ però no és gens estrany en una persona que no sap quina de les dues mans és la dreta i quina l'esquerra. La veritat és que mai he entès que hi hagués nombres naturals, n'hi ha d'artificials? No em peguis, eh! que tinc un somriure encantador :D (així vaig aprovar bona part de les matemàtiques)

    ResponElimina
    Respostes
    1. Clídice, no sé perquè es diuen naturals; potser perquè això de comptar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39... és una tendència natural dels humans.

      Elimina
  12. ¡Me encantan estas entradas matemáticas tuyas! Espero ansiosamente a Hilbert :-P

    ResponElimina