dimecres, 22 de juny de 2011

Vell món digital (1 de 3)

Un senyor antic que podria ser Leonardo Fibonacci, o no.

El sistema de numeració que utilitzem en l’actualitat, econòmic i flexible, ens permet representar sense dificultat tant la nostra edat, com la superfície del nostre dormitori o la distància que hi ha entre la Terra i el Sol. Amb uns senzills algorismes, que aprenem a l’escola primària, les sumes, restes, multiplicacions i divisions no representen cap obstacle de càlcul. Abans que la vella aritmètica quedi sepultada en l’oblit gràcies a les ubiqües calculadores electròniques, dediquem un discret homenatge al nostre sistema posicional de base 10, que tant ha fet pel nostre progrés.

I com sol passar amb els grans invents humans, que semblen tan “naturals” que es diria que sempre els hem tingut a l’abast, el camí fins arribar a aquesta solució no fou senzill i és, de fet, relativament moderna la seva definitiva adopció. Les grans cultures de l’antiguitat ja associaren símbols a les quantitats discretes, però ho feren de forma una mica arbitrària. Hebreus, grecs i romans acabaren utilitzant el seu alfabet. Així, els jueus associaven la primera lletra alef amb el número u, bet era el dos. A partir de la dècima lletra, s’avançava per desenes. La lletra vint-i-dos, tav, era igual a 400. Podria haver estat una altra. Els grecs, que comptaven amb un alfabet més generós, pogueren adjudicar un símbol fins i tot al número 900.

Tots coneixem el sistema de numeració romana que juga només amb 7 símbols: I, V, X, L, C, D i M. Davant dels 22 símbols hebreus i els 27 grecs, la notació llatina és econòmica i molt intuïtiva, no endebades va ser el sistema de numeració predominant a Europa fins ben entrat el segle XII. Encara ara perviu a les esferes dels rellotges, a les dates dels monuments oficials i al número de sèrie de monarques i papes.

Tot i això, la notació romana presenta seriosos problemes a l’hora de fer càlculs. Intenteu sumar XLVII i XIX; no hi ha cap algorisme senzill que ens permeti obtenir el resultat LXVI; per no parlar del malson de la multiplicació. Un altre problema que suposa seguir aquest sistema és que no permet fer-se una idea ràpida de la magnitud de les xifres. D’una ullada, quin número diríeu que és més gran MI o DCCXLVII?

El problema de tots aquest pobles clàssics és que no se’ls va acudir simbolitzar el no res. Per fer un pas endavant calia descobrir el zero, potser una de les idees més importants dins de la història de la Humanitat i, de segur, la d’aparença menys impressionant. L’origen del zero s’atribueix als matemàtics de la Índia. En un dels seus textos sagrats es troba una llista de potències de 10 acompanyades del seu nom:
  • Dasa 10
  • Sata 100
  • Sahasra 1.000
  • Ayuta 10.000…
A partir d’aquesta nomenclatura s’obtenia una manera molt eficient de posar nom als números. Per exemple, 426 es podia expressar, començant sempre per les unitats, com “sis i dos Dasa i quatre Sata”. D’aquí era fàcil deduir que el que importava era la posició del número, de manera que es podia expressar també com “sis dos quatre”, elidint el nom de les potències de 10.

En aquest sistema de notació, que es denomina posicional, el lloc que ocupa cada xifra indica a quina potència de 10 s’ha d’aplicar: així la primera indica les unitats, la segona les Dasa (desenes), la tercera les Sata (centenes)… El problema apareix quan alguna de les potències intermèdies no té valor. Per exemple, 403 no es pot representar com “tres quatre”, ja que això equival a “tres i quatre Dasa”, o sigui 43. Calia doncs intercalar marcadors de posició a les potències que no tinguessin valor. Anomenaren aquest marcador “shunya”, de manera que l’exemple anterior es podia expressar com “tres shunya quatre”.

De mica en mica, a través de la familiaritat, van començar a considerar “shunya”, a qui ja podem anomenar “zero”, com un número més, una idea no tan òbvia com podria semblar. El segle VII de la nostra era els matemàtics indis començaren a descobrir les propietats aritmètiques del zero, innocu a la suma, però arma de destrucció massiva a la multiplicació. L’eficaç mètode indi va propagar-se ràpidament cap a Occident, on la pujant cultura islàmica l’adoptà, anomenant el zero amb el poètic nom de “zephyr”.

Devem l’entrada de la numeració aràbigo-índia a Europa al pisà Leonardo Fibonacci (1170?-1250?) que la va aprendre a Algèria, on el seu pare era agent de duanes. El seu “Liber Abaci” fou l’eina més important per introduir aquest sistema a Occident. Com totes les idees innovadores, suscità d’entrada moltes reticències, amb doble motiu, atès el seu origen en terres infidels. Era època de creuades i l’eficiència dels guarismes àrabs s’atribuí al diable, tot trobant en les formes corbes d’aquelles xifres una invitació a la sensualitat que difícilment  inspiraven les lletres romanes.

L’èxit final de la numeració aràbiga prou que el coneixem: amb 10 símbols que van del 0 al 9 som capaços d’escriure qualsevol número, “sigui el que sigui, com serà demostrat”, escrivia el bon Fibonacci. Durant aquest apunt el número 10 ha aparegut sovint, perquè les numeracions índies, àrabs i europees comparteixen la base 10. Podria haver estat diferent? I és clar que sí. Potser és hora de passar del món analògic al digital.

22 comentaris:

  1. Això em recorda a allò de tot el que no es va atrevir a preguntar resolt en un parell d'apunts. Vinga posi'm mitja dotzena d'aquests apunts que li pago 30 duros.

    La comptabilitat, aquest gran enigma! Recordo alguns receptaris culinaris que comptabilitzen les quantitats amb un polsim de sal i el temps en tres avemaries.

    ResponSuprimeix
  2. Galde, em sembla que t'estàs confonent amb allò de "Tot el que volia saber sobre el sexe, però no gosava preguntar".

    ResponSuprimeix
  3. És que el sexe és més bàsic que les matemàtiques... o no?

    ResponSuprimeix
  4. D'acord amb l'Allau: no.

    Galderich, jo encara faig servir un receptari que mesura per polsims i pensaments. I a mercat, demano amb onces i lliures.

    Allau, ens parlaràs del sistema binari?

    ResponSuprimeix
  5. Una de les modes escolars de fa anys va consistir en fer comptar les pobres criatures en bases diferents.

    Els números romans també han anat de baixa.

    Tot sembla molt senzill quan s'ha fet sempre i sovint ha costat força d'arribar-hi.

    ResponSuprimeix
  6. Ara he comprès una cosa que vaig escriure sobre el cero dels indis. Crec que posaré un enllaç.

    ResponSuprimeix
  7. Enric, i tant que parlaré de sistema binari!

    ResponSuprimeix
  8. Júlia, la moda de comptar en bases diferents em sembla molt raonable.

    ResponSuprimeix
  9. José Luis, ara sí que no t'entenc. Jo t'explico el que tu escrius? Això sí que és esotèric!

    ResponSuprimeix
  10. M'encanten els contes matemàtics, són terriblement romàntics! Vaig llegir un llibre que es diu El naixement del metre d'Enric Moreu-Rey i vaig xalar cosa mala :) I és que són veritables històries de pioners aquestes.

    ResponSuprimeix
  11. És que la mesura del meridià de Barcelona, Clídice, va ser tota una epopeia!

    ResponSuprimeix
  12. Volem més històries de números!!! Gràcies, Allau, per aquests apunts.

    ResponSuprimeix
  13. Res esotèric. Vaig passar de puntetes: "Ellos crearon los símbolos que derivaron en nuestros nueve números, pero también uno para el cero, al que fueron los primeros en considerar como una realidad con la que se podía operar, lo cual parece ser que fue un hito trascendental" I no es la primera vegada ni serà la ultima, ni seré l’únic soci del club.

    ResponSuprimeix
  14. Ai Allau, ja has destronat al meu famós profe de mates! magnífics apunts,
    Jo avançaria més, què tal escriure tots sempre els números amb els números? Ho aplico cada 2 per 3.

    ResponSuprimeix
  15. Em temo, Kalamar, que sobre això hi ha normes; però quan em fa mandra, escric amb núm3r05.

    ResponSuprimeix
  16. Hi ha 10 classes de persones, les que entenen els nombres binaris i les que no.

    ResponSuprimeix
  17. Vell acudit d'informàtics! Sempre m'entendreix sentir-lo.

    ResponSuprimeix
  18. M'hagués agradat que m'haguessin ensenyat d'aquesta manera!!!!! O potser ho van fer i jo no ho vaig entendre? El gran enigma és aquest, què passa amb les matemàtiques: mals alumnes o mals mestres?

    ResponSuprimeix
  19. El que passa, Marta, és que la majoria de coses que explico no entraven al programa.

    ResponSuprimeix