dimarts, 12 d’abril de 2011

Cossos perfectes

Aquests dies m’he tornat a engrescar jugant amb el meu Zome i ha revifat la meva fascinació pels anomenats sòlids platònics. Aquests poliedres són les formes més regulars i belles més ençà de l’esfera. Perquè un poliedre convex sigui considerat platònic ha de complir tres condicions:
  1. totes les seves cares han de ser polígons regulars convexos i congruents
  2. cap de les seves cares pot intersecar amb una altra excepte a les arestes
  3. a tots els vèrtexs ha de confluir el mateix nombre de cares
A partir d’aquesta tercera condició és senzill, per construcció, descobrir que només existeixen cinc sòlids platònics. Com que l’hexàgon regular té un angle de 120º i a cada vèrtex han de coincidir un mínim de 3 cares, si posem tres hexàgons que comparteixin un vèrtex (com passa amb els ruscos de les abelles) obtindrem una figura plana incapaç de formar objectes tridimensionals. Polígons de més de sis costats encara es mostraran més impracticables per reunir-se entorn d’un punt.

Queden per tant els polígons de menys de sis costats. Comencem pel pentàgon regular. En podem posar tres units en un sol punt i, si continuem afegint pentàgons en els vèrtexs que queden lliures obtindrem el dodecaedre amb les seves dotze cares pentagonals (dodecaedre = dotze cares, en grec), vint vèrtexs i trenta arestes.
Si posem quatre quadrats units en un vèrtex obtenim una figura plana, però si en posem tres obtenim la llavor de l’hexaedre o cub: sis cares, vuit vèrtexs i dotze arestes. Francament, el més avorrit del quintet.
Sis triangles equilàters reunits entorn d’un punt també formen una figura plana, però si en traiem un, amb els cinc restants podem construir una piràmide. Continuant amb el mateix mètode aconseguirem el bonic icosaedre: vint cares, dotze vèrtexs i trenta arestes.
 Si en lloc de cinc triangles n’emprem quatre, obtindrem una piràmide quadrada. En unir dues per la base, neix l’octaedre de vuit cares, sis vèrtexs i dotze arestes.

Amb tres triangles per vèrtex aconseguim finalment el tetraedre de quatre cares, quatre vèrtexs i sis arestes. I amb això hem exhaurit totes les possibilitats.


Malgrat que s’han trobat mostres d’aquests sòlids a diverses cultures anteriors (sovint en forma de daus, igual com s’utilitzen actualment en alguns jocs de rol), els primers que els van estudiar seriosament foren els grecs. El seu descobriment s’atribueix a Pitàgores, de forma potser més mítica que del tot fonamentada. És evident però que al segle IV abans de Crist ja es coneixien tots cinc i Plató va poder citar-los al seu diàleg “Timeus” (360 a.C.) El filòsof, tot fent conjectures sobre la natura de la matèria, va voler lligar cadascun dels quatre elements clàssics amb un poliedre regular. Així, el tetraedre era el foc, l’octaedre l’aire, l’icosaedre l’aigua i el cub la terra. El dodecaedre, que li havia quedat desaparellat el connectà amb l'èter o l’univers, potser per la seva forma similar a l’esfera. Des de llavors Plató s’endú el mèrit, tot i no haver-los descobert. Curiosament les formes d’aquests cossos es poden trobar a la natura: a estructures cristal·logràfiques, radiolàries o certs virus. O sigui que la intuïció del filòsof no anava tan desencaminada.

El segle XVI l’astrònom Johannes Kepler, que era tan pietós com bon científic, buscava la forma de l’òrbita dels cinc planetes extraterrestres coneguts en aquell moment. Imbuït per la perfecció divina de la creació i pel nombre de planetes (5) va empescar-se una construcció on els cinc sòlids platònics s’inscrivien successivament. Va suposar (erròniament) que calia buscar les òrbites a les esferes que recobrien aquests poliedres.
Finalment va trobar la solució correcta de les òrbites elíptiques, però pel camí es familiaritzà amb els poliedres i en descobrí un parell que incomplien la segona regla dels sòlids platònics (les cares intersecaven entre elles fora de les arestes). És el cas d’aquest dodecaedre estelat, que no deixa de ser una monada. 
S’atribueix a Leonard Euler la fórmula segons la qual, si sumem el nombre de cares i vèrtexs i restem el nombre d’arestes obtindrem invariablement la xifra 2. De fet, la fórmula és vàlida per a qualsevol poliedre convex (i per alguns de còncaus). Em costa molt de creure que una relació tan senzilla i evident no fos coneguda dels grecs.

Podria continuar parlar d’altres belleses d’aquest quintet, però com que no hi ha res més avorrit que sentir l’enamorat cantant les virtuts del seu objecte d’estima, m’aturo aquí a les fronteres de l’inefable.

24 comentaris:

  1. Justament ara parlava (en una altra banda) de trobar refugis bonics o distrets o suficients per a suportar l'allau (amb perdó) barcelonista i futbolero que ara ens cau al damunt. Això dels sòlids platònics podrà servir.

    ResponSuprimeix
  2. Ja veus, Lluís, dins de la meva vida platònica ignoro completament de quina allau futbolera em parles.

    ResponSuprimeix
  3. Allau,
    És curiós com els penjats de les matemàtiques i la física aquests jocs us entusiasmen per igual. És un joc que m'agrada escoltar-lo com aquell que escolta gestes mitològiques passades.
    Beatus ille qui non sabet allaunorum barchinonensis et matritensis.

    ResponSuprimeix
  4. Començo a notar certa fascinació per aquest dodecaedre estelat.

    ResponSuprimeix
  5. Galde, a mi la física no m'entusiasma, la trobo massa "física". M'he pensat que anaves a dir que t'agrada escoltar-nos com qui sent ploure.

    I el meu precari llatí està molt rovellat, però això de "barcinonensis et matritensis" s'entén en qualsevol idioma.

    ResponSuprimeix
  6. Marta, si entres a la Wiki, potser el veuràs girar i tot. Amb un porro i música de Pink Floyd, oli en un llum!

    ResponSuprimeix
  7. Ara entenc que els políedres dels arbres de Nadal (com la darrera imatge)senzillament reten homenatge al naixement del Déu Allau.

    ResponSuprimeix
  8. Creus que aquells matemàtics grecs gastaven substàncies "especials"? Jo cada cop veig més clara la tesi dels antropòlegs que defensen l'ús massiu dels bolets a la Grècia antiga.

    ResponSuprimeix
  9. Ja és com cadascú tria l'entreteniment geomètric (o millor dit: topològic -sobretot després d'Euler-) que més li escau.
    Suposo que com a fruit d'una necessitat, a mi m'atrauen els nusos; i em fascina, tot i no entendre-la, la retòrica matemàtica de la seva teoria: nusos dòcils, nusos trivials..., nusos salvatges!

    ResponSuprimeix
  10. De seguida he pensat en l'heroi Mr Sagan i l'explicació de l'irracional dodecaedre:

    http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=hMKuc--bq2s

    per mi és el més bonic.

    ResponSuprimeix
  11. Puig, deus voler dir Allah, no pas Allau.

    ResponSuprimeix
  12. No en tinc ni idea, Lluís, però crec que els matemàtics eren més aviat de vi.

    ResponSuprimeix
  13. Girbén, prefereixo els grafs. Els nusos els trobo una mica massa... tous.

    ResponSuprimeix
  14. Kalamar, si em forcessin a escollir, crec que jo també em quedaria amb el dodecaedre.

    ResponSuprimeix
  15. Allau, una preferència pels grafs explica el teu gust per les xarxes nodals dels metros del món.
    I, si-et-plau, mai gosis tractar de tous als nusos, quan mai les has passat putes tot mirant de desfer -amb alicates- aquell nus afermat per la sotragada que t'acaba de salvar la vida.... Com goses dir-li tou a aquell concentrat de saviesa connectiva!

    ResponSuprimeix
  16. Amb poca tendència al barroquisme, però compartint el menyspreu pel hexaedre, posi'm mitja lliure d'icosaedres ben finets, que són pel berenar del nen :)

    ResponSuprimeix
  17. Mhe enterat de ben poc però m'ha sonat tan bell com un poema surrealista. Desprès dius que ets poc poeta! El dodecaedre estel·lat és preciós i com que, en aquest moment, em sento frívola, me'n faria arracades amb diamants divinament tallats.
    Per cert? Com podia Plató associar una forma similar a l'esfera a la terra? Com ho podia fer abans de J.C. i abans de C.C.?

    ResponSuprimeix
  18. Compte, Clídice, que no és apte per estómacs delicats.

    ResponSuprimeix
  19. Glòria, no ho va associar amb la terra sinó amb l'univers que pels grecs estava contingut sota la volta del cel.

    ResponSuprimeix
  20. Geometria i filosofia, què més es necessita per ser feliç? Molt més, és clar, però al menys aquelles dues són un bon punt de partida :)

    ResponSuprimeix
  21. Leb, i un jardí on meditar tot contemplant un romboedre truncat!

    ResponSuprimeix
  22. estan ftal posades les fotos

    ResponSuprimeix