dijous, 23 de juny de 2011

Vell món digital (2 de 3)

Comptar amb els dits segons Luca Pacioli

Ho farem fàcil. En el nostre sistema de numeració, posicional i de base 10, comencem comptant 0, 1, 2, 3… i, quan arribem al 9, tornem al 0 i afegim un 1 a l’esquerra. Si completem un altre cicle, la primera xifra de la dreta torna a ser 0 i a l’esquerra hi figura un 2. Sona com un taxímetre, però això és el que hi ha. La xifra de més a la dreta representa les unitats, la següent les desenes, després les centenes, i així les successives potències de 10, que és la base. Sembla que, si hem adoptat una numeració en base 10, és per qüestions anatòmiques: deu són els dits que tenim entre les dues mans i, qui més qui menys, tots hem comptat alguna vegada amb els dits.

Hi ha d’haver alguna cosa de certa en aquesta teoria, perquè la base 10 és molt freqüent entre les cultures terrícoles. M’havien explicat, potser per enganyar-me, que a la numeració romana el símbol I era un dit alçat, V el palmell obert d’una mà i X dos palmells encarats pels canells. En qualsevol cas, la paraula “dígit” encara és sinònima de “xifra”, o sigui que, en certa manera, continuem comptant amb els dits. Si els peus no fossin tan lluny de les mans i no haguéssim inventat el calçat, potser comptaríem en base 20.

La base 10 pot semblar-nos “natural”, però hi ha altres mons comptables possibles. El més senzill de tots és la base 1. Comencem a comptar: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIIII… Intuïtivament funciona molt bé, però és un desgavell a l’hora de fer els comptes. 1.627 expressat en aquesta base és una invitació al suïcidi matemàtic.

La base 2 pot presumir de moltes més possibilitats. Els arara de l’Amazònia compten de la manera següent: anane (1), adak (2), adak anane (3), adak adak (4), adak adak anane (5), adak adak adak (6), adak adak adak anane (7), adak adak adak adak (8). En un món més proper, els ordinadors compten exactament igual; s’en diu sistema binari, apagat i encès, u i zero, negre i blanc. És la base de la cultura digital, que amb només dos símbols pot escriure qualsevol xifra: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000… Econòmic no ho és, perquè per expressar el 8, hem necessitat quatre vegades més dígits que en base 10. Altres bases que també s’utilitzen en computació, per tractar-se de potències de 2, són l’octal i l’hexadecimal.

En general una notació en base “n” requerirà n símbols distints, cadascun amb el seu nom propi. Si s’escull una “n” gran, la notació serà més breu, però posarà a prova la nostra memòria; per això la base 10 sembla un bon compromís. Els antics babilonis tenien una numeració basada en el 60, i els maies feien servir la base 20, tot i que no utilitzaven la nostra notació posicional. Ben mirat, en moltes llengües europees els noms dels nombres fins al 20 presenten particularitats que no s’ajusten al sistema: onze, dotze, tretze… Potser indiquen un vestigi de quan encara comptàvem amb TOTS els dits.

Un sistema, que poques cultures han utilitzat, però que curiosament té els seus defensors és el de base 12. Al segle XIX el filòsof Herbert Spencer i sir Isaac Pitman, l’inventor de la taquigrafia moderna, ja el proposaven com a substitut de la notació decimal. Se’l coneix habitualment com duodecimal, tot i que l’enginyer americà John W. Nystrom, que també n’era un partidari, va tenir la desafortunada idea d’anomenar-lo “duodenal”.

Per comptar en base 12, necessitem dos símbols més, apart dels deu habituals. Alguns han proposat fantasiosos dissenys per aquestes noves xifres, però el que se sol fer és utilitzar les lletres A i B per representar el deu i l’onze. Així, si compten en duodecimal, escriurem així els nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 20, 21…

Veig que m’estic allargant, o sigui que continuaré demà, parlant d’aquest sistema que no és tan forassenyat com sembla. De moment, deixo al gust de l'amable lector, com s'hauria de dir en veu alta un nombre com B3A.25B.

14 comentaris:

  1. La base 12 té l'avantatge sobre la base 10 de que té més divisors: 1,2,3,4 i 6. Des de el punt de vista de la tècnica, les bases 8, 12 o 16 semblen més avantatjoses que la base 10. Però la història te la seva pròpia lògica...

    ResponElimina
  2. M'he llegit seguits els dos apunts sobre matemàtiques. M'han semblat molt interessants però, tot i estar ben explicats, m'han creat confusió. O més confusió, encara, vull dir.
    Ja fa molts anys que vaig aprendre a fer cálcul amb altres bases i em va semblar una descoberta.
    Com 3 i 2 fan 5 et seguiré fidelment, Allau.

    ResponElimina
  3. Brian, no m'aixafis la guitarra, que això ho explico demà. No es poden tenir lectors tan llestos ;p

    ResponElimina
  4. Glòria, si et confonc sense angoixar-te, ja m'està bé. Queda't només amb la idea que podríem estar comptant d'una altra manera i ho faríem igual de bé, que els humans som víctimes de la contingència i les convencions, que no hi ha res que sigui com déu mana (o com 10 mana).

    ResponElimina
  5. Allau,
    Exerceix l'autoritat i anul·la el comentari del Brian (per listillo de la classe)!
    Els qui ens costa anem a poc a poc entrant en el món de les matemàtiques!

    ResponElimina
  6. Galde, com a listillo de la classe en funcions, aquí no elimino ningú. Tot això m'agrada. Digue'm complicat.

    ResponElimina
  7. Si l’apèndix fos al duodè ara mateix tindria un mal de panxa horrorós.

    ResponElimina
  8. I apologize. Estic segur que més enllà de la meva extemporània incursió ho explicaràs com Déu mana (perquè Déu era binari o no era) i en gaudirem tots.

    ResponElimina
  9. José Luis, l'apèndix, demà, i sense necessitat d'intervencions.

    ResponElimina
  10. Allau, et seré sincer. M'encanta qualsevol expressió humana que em permet entendre i aprendre coses que m'interessen i que no domino. M'agrada visitar nous punts de vista sobre el que conec o crec conèixer. Gaudeixo quan algú és capaç d'expressar una emoció (en el sentit més ampli del terme) convertint-la en essència (l'art n'és ple; però també ho és una fórmula matemàtica, i les composicions moleculars: l'emoció de l'essència de les coses).

    I què vull dir amb això? Doncs que estic esperant que en el darrer apunt d'aquesta sèrie ens mostris quina és l'expressió numèrica que defineix l'entitat "Allau". O que ens tanquis dins d'un laberint cabalístic.

    ResponElimina
  11. Ai, Enric, poca càbala trobaràs si em segueixes, que sóc més de faves comptades que de significats ocults.

    ResponElimina
  12. vinc del futur (del post posterior) i em sembla que estic com la Glòria, confosa però tranquil·la. Ja està bé fer tremolar les neurones una miqueta, quantes convencions assumim com si fossin l'única manera?. Això de "duodenal" m'ha fet riure.

    ResponElimina
  13. Marta, més que fer-les tremolar, esgarrifar-les una mica.

    ResponElimina