La felicitat era això

vist aquí

Els matemàtics (ànimes de déu!) es deleixen per definir conceptes pel mer gust de la definició. Després estudien les conseqüències del seu acte creador, hi busquen regles i excepcions, pautes secretes, connexions inesperades. Sovint acaben establint els límits d’un territori artificial, tancat en si mateix, que només ells han inventat i aquí s’acaba la història. Però en alguns casos aquests treballs d’exploració aporten llum a problemes que d’entrada no hi tenien res a veure i s’obren de sobte camins de repercussions infinites. Aquesta és la gràcia de la definició perquè sí.

Ran del meu apunt de primer d’any, la Montse G. C. m’informa de l’existència dels nombres feliços, dels que mai no havia sentit parlar, però que tenen tanta legitimitat matemàtica com qualsevol altra invenció precisament definida. I quins són els nombres feliços? Com els reconeixerem?

Aquesta és la recepta. Preneu un nombre enter positiu, calculeu el quadrat de cadascuna de les seves xifres, sumeu-les. Repetiu el procediment amb el resultat. Així una vegada i una altra. A la llarga entrareu en un bucle del tipus 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ... o obtindreu un 1 (no em pregunteu el perquè, però s’ha comprovat que és així). Si es dóna aquest segon cas, us trobareu davant d’un nombre “feliç”. No sabria explicar-vos perquè aquests nombres han de ser més feliços que els altres: els matemàtics són així de forassenyats en les seves decisions i no he trobat enlloc el motiu d’aquest apel·latiu.

Més enllà del cas trivial de l’u, el 7 és el nombre feliç més petit. Vegem-ho:

Després venen el 10, 13, 19, 23, 28, 31… Per la natura de la definició, si un nombre és feliç, també ho serà qualsevol permutació de les seves xifres. Com que el 176 ho és, també ho són el 167, el 617, el 671, el 716 i el 761. Ja que el quadrat del zero no altera el resultat de la suma, hi podrem afegir igualment tants zeros com voldrem sense modificar la seva felicitat: 1.760, 1.076, 1.000.607.000…

Malgrat que, de moment, no s’ha trobat cap ús d’aquesta felicitat numèrica, s’han plantejat ja totes les preguntes pertinents: quina és la densitat de nombres feliços dins dels enters, què passa si en lloc de quadrats utilitzem cubs, quins nombres feliços són a més primers, què passa en altres sistemes numèrics (en sistema binari i en base 4, tots els nombres són feliços, són per tant sistemes “feliços”)...

Ah, me n’oblidava (i excuseu-me l’obvietat), tots els números que no són feliços queden definits per decret-llei matemàtic com a “infeliços” o “tristos”. Per exemple, el 2, el 3 o el 4. Que cadascú n’extregui les conseqüències morals que vinguin al cas.